在课改中强化数学思想方法的策略研究

摘要：在初中数学教学过程中，数学思想是数学学习和研究中解决问题的根本想法，是沟通基础知识、技能转化为能力的桥梁，是数学结构中强有力的支柱，是培养学生数学脑袋的精髓所在。培养好初中生的数学思想方法，能有效地激发学生的学习兴趣，调动学生学习积极性和主动性，能使学生的认知结构不断地完善和发展，使学生将已有的思想方法运用在学习新知识的过程中，能够把复杂问题转化为简单问题来解决，提高学习效益，提高学生分析问题和解决问题的能力。

关键词：数形结合；类比；方程；分类；化归

在初中数学教学的过程中，数学思想是数学学习和研究中解决问题的根本想法，是沟通基础知识、技能转化为能力的桥梁，是数学结构中强有力的支柱，是培养学生数学脑袋的精髓所在。培养好初中生的数学思想方法，能有效地激发学生的学习兴趣，调动学生学习积极性和主动性，能使学生的认知结构不断地完善和发展，使学生将已有的思想方法运用在学习新知识的过程中，能够把复杂问题转化为简单问题来解决，提高学习效益，提高学生分析问题和解决问题的能力。

我们的新教材重视数学与现实世界的密切联系，提供了现实的、有趣的、富有挑战性的学习内容，有利于学生探索并掌握初步的数学思想方法。因此，新课程的大背景、新教材的推广为我们进行初中数学数学思想方法的培养提供了很好的前提条件。

下面简略谈谈我在新课程改革教学中培养学生数学思想方法的一些粗浅做法和体会。

一、数形结合思想

一般地，人们把代数称为“数”而把几何称为“形”，“数”与“形”表面看是相互独立，其实在一定条件下它们可以相互转化，数量问题可以转化为图形问题，图形问题也可以转化为数量问题。数形结合就是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题，将抽象思维与形象思维结合的一种重要思想方法，它可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，繁琐的问题条理化。

数学前辈华罗庚曾说过：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞，数缺形时少知觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非。切莫忘几何代数统一体，永远联系，切莫分离。”所以我们在教学中要引导学生注意“数”与“形”的结合，使抽象思维与形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用。

初中的数学教材中有很多数形结合的好例子。例如：在讲“勾股定理”时，先利用方格纸计算面积对直角三角形三边关系做出猜想，得到勾股定理，再用拼图的方法进行验证，并通过方格纸说明了勾股定理是直角三角形所特有的性质。学生在勾股定理的探索过程中，充分感受了数形结合的思想。又如:在讲“圆与圆的位置关系”时，可让学生自制两个大小不同的圆形纸板进行运动试验，使他们首先从形的角度上认识圆与圆的位置关系，然后在上面操作的基础上，激发学生积极主动探索两圆的位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系之间的内在联系。通过“数”和“形”的结合，学生很容易认识并掌握圆与圆的五种位置关系。

这种借助于形通过数的运算推理研究问题的数形结合思想，在教学中要不断地培养，这样不仅可以提高学生的迁移思维能力，还可以培养学生的数形转换能力和多角度思考问题的习惯。

二、类比思想

在我们平时的学习与生活中处处充满着类比。何为“类比”？波利亚的《如何解题》中说过：“类比就是一种相似，相似的对象在某个方面彼此一致，类比的对象则与其相应部分在某些关系上相似。”类比既是一种科学研究的方法，也是初中数学重要的思想方法。根据初中生的抽象思维从经验型向理论型急剧转化的心理特点和初中数学教材的特点，在教学中恰当地应用类比思想方法，对深刻理解和掌握相关数学知识具有重要的实际意义。

例如：在讲分式这一章节时，将它与小学学过的分数进行类比，我们很容易得到分式的基本性质、分式的通分、分式的约分以及分式的加、减、乘、除运算的法则。学生在类比理解的基础上掌握了分式的有关知识，减轻了学生背诵的负担。又如：在研究利用圆心到直线的距离 与半径 之间的数量关系判定直线与圆的位置关系时，类比点与圆的位置关系，进而将直线与圆的位置关系转化为点（圆心到直线的垂线段的垂足）与圆的位置的关系。再如：在讲“解一元一次不等式”时，由于学生刚刚接触不等式，对不等式不是很熟悉，我们可以对比一元一次方程解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1，这些步骤是一样的。当然，要特别比较化系数为1时两者的不同之处：方程两边同乘（除以）一个不为0的数时，所得方程的两边仍然相等；但不等式的两边同乘（除以）一个负数时，所得不等式的不等号要改变放向。通过这种类比，学生掌握起来就容易得多了。

还有很多很多数学问题都可用类比的思想来解决。因此，类比思想是数学学习中不可缺少的一种数学方法。它可以使一些问题简单化，也可以使我们的思维更加广阔。

三、方程思想

所谓方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程或方程组，然后通过方程或方程组使问题得到解决的思维方式。我们知道方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，所以方程思想实际上就是由实际问题抽象为方程过程的数学建模思想。用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程或方程组。这种思想是初中数学思想方法的主体，在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。

例如：学习了正比例函数和反比例函数之后，往往会遇到这种类型的题目：已知
 
，
 
与
 
成正比例，
 
与
 
成反比例。当
 
=1时，
 
=4，当
 
=3时，
 
=5。求当
 
=–1时
 
的值。这是一个用待定系数法解决的函数题，关键是要确定
 
与
 
的函数关系式，而确定比例函数解析式的关键在于确定系数
 
，系数
 
的确定就需借助与解关于
 
的方程。又如：一个角的余角比它的补角的
 
还少20°，求这个角。这是一道关于角的计算的题目，如果设这个角的度数为
 
，根据题意得到关于
 
的方程，很快就能把这个角算出来。用方程的思想，这类问题变得简单明了。

    方程思想的领会与否直接关系到数学建模能力的大小。因此，在平时教学过程中，我们要常对学生进行方程思想的渗透，使学生感觉到用方程解决问题的优势，逐步培养和提高学生用方程思想解决问题的能力，这对学生以后的学习都有着深远的影响。

四、分类思想

通常情况下，在研究和解决数学问题过程中，当问题所给对象不能进行统一研究时，我们会根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象按一定标准不重复、不遗漏地区分为不同种类，然后逐类进行研究，最终使问题在各种不同情况下分别得到解决，这一思想方法，我们称之为“分类思想”。分类思想在数学思想中占有重要的地位，它在简化研究对象、发展思维方面有着重要作用。

其实，在传授新知的过程中，我们可以有意识地培养学生的分类思想。例如：在《有理数》研究绝对值时，引导学生将有理数分成正数、负数、零三类分别研究；在研究有理数的加法法则时，引导学生观察、思考、探究，将有理数的加法按照同号、异号与零运算这三类进行研究，正确归纳出有理数的加法法则，这样学生对“分类”有了深刻的认识。又如：在传授圆周角定理“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”的证明过程时，由于一条弧所对的圆周角有无数多个，而逐一研究这无数多个圆周角与圆心角之间的数量关系是困难的，可以引导学生对圆周角相对于圆心的位置进行分类：圆心在圆周角外部、圆心在圆周角一边上、圆心在圆周角的内部，把此定理的证明过程分成三类进行证明。这样既渗透了分类思想，又促使学生学会数学地思考问题。

通过分类，不仅可以化整为零，各个击破，变一般为特殊，变模糊为清晰，变抽象为具体，还能使学生学会从多角度、多方面去分析、解决问题，从而培养学生思维的严密性、全面性。

五、化归思想

“化归”就是将需要解决的问题，通过转化，归结到另一个相对比较容易解决或者已经解决的问题中去，最终使问题得到解决的一种思想方法。化归思想是数学思想方法体系主梁之一。化归的手段是多种多样的,其最终目的是将未知的问题转化为已知问题来解，实现新问题向旧问题的转化、复杂问题向简单问题转化、未知问题向已知问题转化、抽象问题向具体问题转化等。

在数学学习中经常会用到化归思想．例如：学习了有理数的加法、乘法以后，在做有理数的减法时，则利用相反数的概念，减去一个数等于加上这个数的相反数，将减法化归为加法来做；做除法时，则利用倒数概念，除以一个数等于乘以这个数的倒数，将除法化归为乘法来做．又如解分式方程转化为解整式方程，解“二元”方程转化解“一元”方程等等。

初中数学教学中，培养学生运用化归原则来解题，不仅能起到巩固旧知识，促进理解掌握新知识的作用，而且对提高学生解决问题的策略水平有着深远的影响。

数学思想方法是数学思维的核心，是学生把数学知识转化成能力的纽带。因此，平时的教学过程中，首先要特别强调解决问题以后的“反思”，因为在这个过程中提炼出来的数学思想方法，对学生来说才是易于体会、易于接受的。其次要注意渗透的长期性，学生数学思想方法的渗透不是一朝一夕就能见到效果的,而是有一个过程。依据课本内容和学生的认知水平,从初一开始就有计划的渗透，就一定能提高学生的学习效率和数学能力。

参考文献：

[1]义务教育课程标准实验教科书—数学.江苏科学技术出版社.

[2]华志英.渗透数学思想方法培养创新思维能力[J]. 江苏教育研究,2004.3

[3]朱成杰.数学思想方法教学研究导论[M].上海：文汇出版社，2001